Les nombres premiers et l'hypothèse de Riemann

 

Au commencement étaient les nombres premiers. Ce sont des nombres naturels qui ont la propriété spéciale de ne pas pouvoir être exprimés comme le produit de deux nombres plus petits, par exemple 2, 3, 5, 7, etc. L'infinitude des nombres premiers a été démontrée par Euclide 300 ans av. J.-C (proposition 20 du Livre IX, de son livre les Éléments). Une autre question très complexe et très intéressante qui a fait couler beaucoup d'encre est la distribution des nombres premiers. D'ailleurs, Euler a dit à ce sujet en 1751 :

"Les mathématiciens ont tâché jusqu'ici en vain de découvrir quelque ordre dans la progression des nombres premiers, et l'on a lieu de croire que c'est un mystère auquel l'esprit humain ne saurait jamais pénétrer. Pour s'en convaincre, on n'a qu'à jeter les yeux sur les tables des nombres premiers que quelques-uns se sont donné la peine de continuer au-delà de cent mille et l'on apercevra d'abord qu'il n'y règne aucun ordre ni règle."

Cent ans plus tard, un jeune mathématicien allemand G.F.B. Riemann, a observé que la fréquence des nombres premiers

est très étroitement liée au comportement d'une fonction qui porte aujourd'hui son nom, à savoir la fonction zêta de Riemann.

L'hypothèse de Riemann qui a résisté plus de 160 ans maintenant, affirme que toutes les solutions intéressantes de l'équation ζ (s) = 0, se trouvent sur une certaine ligne droite verticale. Cela a été vérifié pour les 10 000 000 000 000 premières solutions.

Les mathématiciens croient fortement qu'une preuve  de cette conjecture démystifie sans doute le grand mystère entourant la distribution des nombres premiers.