Qu'est ce que c'est la stabilisation d'une EDP ?

Depuis le XVIIIe siècle, l’étude des équations aux dérivées partielles (EDP) est devenue un outil essentiel pour traiter plusieurs phénomènes physiques, citons comme exemple les cordes vibrantes, les poutres et les réseaux de structures flexibles, ou structures mécaniques comme les bras robotiques, les antennes et les mécanismes de grue...etc. La théorie des poutres est certainement le modèle mathématique le plus utilisé dans le domaine de la résistance des matériaux. On parlera brièvement de l’histoire des trois modèles classiques de poutres vibrantes, qui ont tous été développés au milieu du XXe siècle. Le modèle de poutre d’Euler-Bernoulli est l’une des premières descriptions mathématiques du mouvement d’une poutre vibrante, il a été découvert par Jacob Bernoulli. Au milieu du XVIIIe siècle, Leonhard Euler et Daniel Bernoulli ont formulé une théorie utile et applicable. Daniel Bernoulli a dérivé l’équation différentielle régissant le mouvement d’une poutre vibrante, tandis que Leonhard Euler a étudié la forme des poutres élastiques dans des conditions aux limites différentielles. Tentant de développer le modèle d’Euler-Bernoulli, Lord Rayleigh a présenté son modèle en 1877. Il prend en compte l’inertie de rotation, cela apporte une certaine amélioration au modèle de poutre d’Euler-Bernoulli. Au début du XXe siècle, Stephen Timoshenko a lancé son modèle qui tient en compte le cisaillement transversal et l’inertie de rotation ce qu’il a ajouté plus d’effets physiques au modèle de Rayleigh. Chacun des modèles de poutre a quatre conditions aux bords différentes selon la façon dont la poutre est attachée (ou non) à une surface aux bords. Il s’agit des conditions d’extrémité articulée, serrée, libre et coulissante.

Le concept de l’étude d’un certain modèle physique ou système mécanique est d’éliminer le risque d’endommagement dû aux oscillations soutenues au cours du temps et le phénomène de résonance. On peut rappeler l’effondrement du pont Tacoma Narrows de Washington (U.S.A), le 7 novembre 1940, dû à la vibration résonnante du pont en mode de torsion.

Pour cela, les physiciens et les ingénieurs se sont réfugiés à utiliser des mécanismes d’amortissement qui conduisent à la dissipation des vibrations associées à un tel système. Cette opération s’appelle la stabilisation. Dans le sens mathématique, ces mécanismes d’amortissement sont des termes qui apparaissent dans l’équation ou dans les conditions aux limites. Dans la plupart des travaux, les mathématiciens prennent ces termes d’amortissement comme des fonctions qui satisfont certaines conditions de positivité. Par exemple, nous rappelons ces travaux [Cox & Zuazua1994 et Liu, Liu  & Zhang 2016] pour les cordes vibrantes, [Liu & Liu 1998 et Zhang  & Guo 2011] pour les poutres d’Euler-Bernoulli et [Liu & Liu 1998 et Zhang  & Guo 2011] pour les poutres de Rayleigh. 

Références 

• S. Cox and E. Zuazua, The rate at which energy decay in a damping string, Comm.
  Partial Differ. Equ. 1994 ;19(1–2) :213–243.
• K. Liu, Z. Liu and Q. Zhang, Eventual differentiability of a string with local Kelvin-
  Voigt damping, SIAM J. Control Optim. 2016 ;54(2) :1859–1871.
• K. Liu and Z. Liu, Exponential decay of energy of the Euler-Bernoulli beam with locally
  distributed Kelvin-Voigt damping, SIAM J. Control Optim. 1998 ;36(3) :1086–1098.
• G. D. Zhang and B. Z. Guo On the spectrum of Euler-Bernoulli beam equation with
  Kelvin-Voigt damping, J. Math. Anal. Appl. 2011 ;374(1) :210–229.
• Thèse Zied BOUALLAGUI, Stabilisation du système de Petrowsky par l’intermédiaire d’un feedback indéfini sur des géométries articulées, 2022.
• https://mse.umd.edu/about/what-is-mse
• https://www.allthescience.org/what-is-thermoelasticity.htm